Lezione 02 · Sistemi di numerazione¶

Un computer lavora solo con 0 e 1, noi siamo abituati alle cifre da 0 a 9. In questa lezione impari a passare da un sistema all'altro e a fare i conti direttamente in binario. Sono gli esercizi più frequenti dello scritto di teoria.

Sistemi posizionali e non posizionali¶

Un sistema di numerazione è un insieme di simboli (le cifre) e di regole che associano a ogni sequenza di cifre uno e un solo valore numerico.

• Non posizionale: ogni simbolo vale sempre la stessa quantità, ovunque si trovi. Nel sistema romano L vale sempre 50.
• Posizionale: il valore di una cifra dipende dalla sua posizione. In 1345 la cifra 5 vale 5 unità, il 4 vale 4 decine, il 3 tre centinaia, l'1 un migliaio.

1345 = 1 × 1000 + 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1

La regola generale¶

In un sistema posizionale con base (o radice) b, una cifra in posizione j ha peso bʲ. Le posizioni si contano da destra, partendo da 0, e la posizione 0 è quella subito a sinistra della virgola. Le cifre dopo la virgola hanno posizioni negative: −1, −2, …

Un numero con i cifre intere e k cifre frazionarie

c₍ᵢ₋₁₎ … c₁ c₀ , c₋₁ c₋₂ … c₋ₖ

vale:

x = c₍ᵢ₋₁₎ · bⁱ⁻¹ + … + c₁ · b¹ + c₀ · b⁰ + c₋₁ · b⁻¹ + c₋₂ · b⁻² + … + c₋ₖ · b⁻ᵏ

Le basi usate in informatica¶

In base b servono b simboli, per i valori da 0 a b − 1.

In esadecimale le lettere valgono: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Come si scrive la base. Si racchiude il numero tra parentesi e si scrive la base in basso a destra:

(101111)₂ = (142)₅ = (47)₁₀

Segno meno, operatori e virgola si scrivono come in decimale. Gli zeri a sinistra si possono togliere, e anche quelli a destra della parte frazionaria: (00101,100)₂ = (101,1)₂.

Come si legge. Solo in decimale si legge "quarantasette". Negli altri sistemi si leggono le cifre una per una, dalla più pesante, dicendo la base: (142)₅ si legge "uno quattro due in base cinque".

Da qualsiasi base a base 10¶

Basta applicare la regola generale: moltiplica ogni cifra per il suo peso e somma.

Il sistema binario¶

Il binario ha solo 2 simboli, quindi servono più cifre per scrivere lo stesso numero. Per avere almeno 10 configurazioni (come le cifre decimali) servono ⌈log₂ 10⌉ = 4 bit. In media un numero binario è circa 3,3 volte più lungo del corrispondente decimale.

Altri esempi: (1001101)₂ = 64 + 8 + 4 + 1 = (77)₁₀; (111100)₂ = (60)₁₀; (10100001)₂ = (161)₁₀; (1100010100)₂ = (788)₁₀.

Verifica con Python (facoltativo). La funzione int(testo, base) converte una stringa di cifre in un numero decimale.

print(int('10101010', 2))   # da binario
print(int('142', 5))        # da base 5
print(int('17E', 16))       # da esadecimale
print(int('576', 8))        # da ottale

numero = input('Scrivi un numero binario: ')
print('In decimale vale', int(numero, 2))

Ottale ed esadecimale¶

Le stringhe di bit diventano presto lunghe e difficili da leggere. Ottale ed esadecimale servono a scriverle in forma compatta. Il passaggio da e verso il binario è immediato perché 8 = 2³ e 16 = 2⁴: una cifra ottale corrisponde a 3 bit, una cifra esadecimale a 4 bit.

• Binario → ottale: raggruppa i bit a gruppi di tre, partendo da destra (dal bit di peso minore). Se l'ultimo gruppo a sinistra è incompleto, aggiungi zeri a sinistra. Sostituisci ogni gruppo con la sua cifra.
• Ottale → binario: sostituisci ogni cifra ottale con i suoi 3 bit.
• Binario → esadecimale ed esadecimale → binario: stessa cosa, con gruppi di quattro.

Da decimale a binario¶

Il metodo ha due passi.

1. Separa la parte intera dalla parte frazionaria. Ad esempio 382,25 = 382 + 0,25.
2. Converti le due parti con due algoritmi diversi e poi rimettile insieme.

Parte intera: divisioni successive per 2¶

Dividi il numero per 2 e annota quoziente e resto. Poi dividi il quoziente per 2, e così via, finché il quoziente diventa 0. I resti, letti dall'ultimo al primo, sono le cifre binarie.

• Il resto della prima divisione è il bit meno significativo (LSB, a destra).
• Il resto dell'ultima divisione è il bit più significativo (MSB, a sinistra).

Parte frazionaria: moltiplicazioni successive per 2¶

Moltiplica la parte frazionaria per 2. La parte intera del prodotto (0 oppure 1) è la cifra binaria successiva. Poi scarta quella parte intera e moltiplica di nuovo per 2 solo la parte frazionaria. Le cifre si leggono nell'ordine in cui le ottieni, dall'alto verso il basso.

Ti fermi quando:

• la parte frazionaria diventa 0: la conversione è esatta;
• la parte frazionaria si ripete: il numero binario è periodico;
• hai ottenuto il numero di cifre richiesto: la rappresentazione è approssimata.

Da decimale a ottale o esadecimale¶

Il modo più semplice: converti prima in binario, poi raggruppa i bit.

In alternativa puoi usare le divisioni successive per 16 (o per 8): i resti sono le cifre. Ad esempio 382 : 16 = 23 resto 14 (E); 23 : 16 = 1 resto 7; 1 : 16 = 0 resto 1. Dal basso: (17E)₁₆.

Verifica con Python (facoltativo). Il programma rifà le divisioni successive e stampa la tabella. Poi controlla il risultato con bin(), oct() e hex() (il prefisso 0b, 0o o 0x indica la base).

n = int(input('Numero intero da convertire: '))
originale = n
cifre = ''
print('Quoziente  Resto')
while n > 0:
    resto = n % 2
    n = n // 2
    print(f'{n:9}  {resto:5}')
    cifre = str(resto) + cifre   # il nuovo resto va a SINISTRA
print('In binario:', cifre)
print('Controllo:', bin(originale), oct(originale), hex(originale))

E questo rifà le moltiplicazioni successive per la parte frazionaria, fermandosi dopo un numero massimo di cifre:

f = float(input('Parte frazionaria (es. 0.25): '))
max_cifre = int(input('Quante cifre al massimo? '))
cifre = ''
conta = 0
while f != 0 and conta < max_cifre:
    f = f * 2
    if f >= 1:
        cifre = cifre + '1'
        f = f - 1
    else:
        cifre = cifre + '0'
    conta = conta + 1
print('In binario: 0,' + cifre)
if f != 0:
    print('Risultato approssimato: la parte frazionaria non si è annullata')

Prova con 0.25 (esatto), con 0.84 e 8 cifre, e con 0.1 e 12 cifre (periodico).

Operazioni aritmetiche in binario¶

Somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione funzionano come in decimale. Cambiano solo le tabelline, che sono molto più corte:

Ricorda: in binario 1 + 1 = (10)₂, cioè "scrivo 0 e riporto 1". E 1 + 1 + 1 = (11)₂, cioè "scrivo 1 e riporto 1".

Addizione¶

Si parte da destra e il riporto si propaga a sinistra, come in decimale.

Sottrazione¶

Quando devi fare 0 − 1 chiedi un prestito alla prima cifra 1 a sinistra, come in decimale. Il prestito vale 2 nella colonna che lo riceve, quindi 0 − 1 diventa (10)₂ − 1 = 1. La cifra che ha prestato diventa 0, e gli eventuali 0 intermedi diventano 1.

Esempio più lungo: (10100001)₂ − (1010101)₂ = (1001100)₂, cioè 161 − 85 = 76.

Moltiplicazione¶

È la più facile: ogni cifra del moltiplicatore è 0 o 1, quindi ogni prodotto parziale è tutto zeri oppure una copia del moltiplicando, spostata a sinistra. Alla fine sommi i prodotti parziali.

Divisione¶

Si procede come la divisione in colonna decimale, ma ogni cifra del quoziente può essere solo 0 o 1: ti chiedi soltanto se il divisore "ci sta" nella parte di dividendo che stai considerando. Ad esempio (111)₂ : (101)₂, cioè 7 : 5: il divisore ci sta una volta, quoziente 1 e resto (10)₂ = 2.

Verifica con Python (facoltativo): converti in decimale, fai l'operazione e riconverti.

a = int('1001010', 2)
b = int('11011', 2)
print('somma:', bin(a + b), '=', a + b)
print('differenza:', bin(int('10100001', 2) - int('1010101', 2)))
print('prodotto:', bin(int('10100001', 2) * int('101', 2)))
print('quoziente e resto:', bin(17 // 3), bin(17 % 3))

Errori frequenti negli esercizi¶

Esercizi¶

Esercizio 1 · Dal binario alle altre basi. Converti (110101)₂ in decimale, in ottale e in esadecimale.

Esercizio 2 · Un numero con la virgola. Converti (45,375)₁₀ in binario, poi scrivi la parte intera in esadecimale.

Esercizio 3 · Conto in binario (come allo scritto). Calcola 85 + 98 così: converti i due numeri in binario, fai la somma in binario, riconverti il risultato in decimale e verifica.

Verifica¶